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Für den kommenden Vorübergang der Venus vor der Sonnenscheibe (8. Juni 2004) besteht vielerorts das Bedürfnis, Astronomiegeschichte nachzuempfinden. Man versuchte im 18. Jahrhundert den Massstab des Sonnensystems anhand des Venustransits zu bestimmen. Hier sollen ein paar Aspekte dieser Rechnungen diskutiert werden.
Einen Plan des Sonnensystems lieferten die Keplerschen Gesetze, die im 18. Jahrhundert bereits bekannt waren. Man wusste beispielsweise, dass die Venus einen Bahnradius hatte, der 2/3 des Bahnradius der Erde entsprach. Jedoch konnte man die Distanzen zu den Gestirnen nicht in Metern (bzw. Ellen, Meilen) angeben. Die beiden Venustransite von 1761 und 1769 sollten diesen Zustand verbessern. Man hoffte, so direkt eine Parallaxe (gleichbedeutend mit der Distanz) der Venus bestimmen zu können. Dazu reisten viele Astronomen in die entlegensten Orte der Erde, um die Venus im Vergleich zur Heimat etwas anders über die Sonnenscheibe ziehen zu sehen. Aus diesem Unterschied lässt sich der Abstand zur Venus berechnen.
Distanzen von nicht direkt erreichbaren Objekten können durch Bestimmung ihrer Parallaxe bestimmt werden. Man wählt dazu zwei erreichbare Messpunkte und misst im Dreieck, das aus den beiden Messpunkten und dem Objekt P gebildet wird, die beiden Winkel bei den Messpunkten und den Abstand B zwischen den beiden Messpunkten. Damit ist das ganze Dreieck eindeutig bestimmt und damit auch die Distanz zum Objekt. Der Winkel beim Objekt heisst Parallaxe. Die Methode heisst trigonometrische Distanzbestimmung (Trigon = Dreieck).
Die trigonometrische Distanzbestimmung wird auch in der Astronomie - genauer in der Astrometrie - noch heute angewendet, wenn es um die Bestimmung der Distanzen zu den Fixsternen geht. Als Basislinie dient der Erdbahndurchmesser. Der Parallaxenwinkel kann mit modernen Satelliten auf zwei tausendstel Bogensekunde genau bestimmt werden. Bald werden Satelliten sogar mikrobogensekundengenaue Parallaxen messen können, was einer Distanz von Tausenden von Lichtjahren entspricht.
Historisch wurden auch Distanzen im Sonnensystem mit Trigonometrie bestimmt.
Die Basislinie bildete der Abstand zwischen auf verschiedenen Kontinenten
stehenden Beobachter. Heute ist die Methode nur noch von historischem Interesse.
Distanzen zu vielen Objekten können direkt mit Radarechos bestimmt werden.
Das Problem damals war, dass selbst im inneren Sonnensystem die Parallaxe
immer deutlich weniger als eine Bogenminute beträgt, wenn man vom Mond absieht.
Die Distanz zum Mond war schon zu Galileis Zeiten bekannt.
Das dritte Keplersche Gesetz setzt das Verhältnis der Umlaufzeiten (T) zweier
Planeten in direkte Beziehung zu den Bahnradien (bzw. grosse Halbachsen a
der Bahnellipsen):
Allerdings war dies im 18. Jahrhundert auch nicht einfach. Abgesehen davon, dass die besten astronomischen Teleskope kaum die Qualität mittlerer Amateurteleskope hatten, war auch die Bestimmung der geographischen Position ein Problem. Die geographische Breite kann direkt astronomisch bestimmt werden, jedoch hängt die Bestimmung der geographischen Länge von der Bestimmung der genauen Uhrzeit ab. Auf dem Land konnte man die Distanz Ost-West noch messen, jedoch auf See schlichen sich mit ungenauen Uhren Fehler ein. Innerhalb Europas war die Basislinie schlicht zu klein, um vernünftige Parallaxen zu den Planeten messen zu können. Wenn eine Seereise zwischen zwei Standorten lag, musste man mit Fehlern in der geographischen Länge rechnen, die den Vorteil der grossen Basislinie wieder zunichte machen konnten.
Der durch seinen Kometen unsterblich gewordene Sir Edmond Halley (1656-1742) beobachtete im November 1677 auf der Insel St. Helena, wie der Planet Merkur als dunkler Punkt vor der Sonne vorüberzog. Dies brachte Halley auf die Idee, die Parallaxe der Venus (und der Sonne) durch Beobachtung eines Transits (Vorübergang eines Planten als schwarzer Fleck vor der Sonne) der Venus zu beobachten. Venus kommt dabei der Erde auf nur 2/7 der Distanz Erde-Sonne nahe. Dies ist die kleinste vorkommende Distanz eines Planeten zur Erde. Die Parallaxe sollte also besonders gross ausfallen.
Das, was man gut messen konnte, waren Zeitunterschiede im Stundenbereich. Also sollte ein Beobachter eines Venustransits die Dauer des Ereignisses besonders zuverlässig messen können. Die Parallaxe zwischen zwei Beobachtern bewirkt, dass die Venus zwei (mehr oder weniger) parallele Sehnen auf der Sonnenscheibe zurücklegt, die natürlich verschieden lang sind und deshalb der Transit auch verschieden lang dauert.
Erschwerend kommt nun hinzu, dass ein Beobachter auf der sich um die eigene Achse drehenden Erde sitzt. Im Erdmittelpunkt wäre die Bewegung der Venus über die Sonnenscheibe in guter Näherung eine gerade, gleichförmige Bewegung. Durch die Erddrehung wird sie zu einer Schlangenlinie verformt. Um zunächst diesen Schwierigkeiten der täglichen Parallaxe aus dem Weg zu gehen, setzen wir je einen Beobachter an die Pole der Erde.
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| Skizze zu den Berechnungen. Der orange Kreis soll die Sonne darstellen. Die schwarzen Punkte seien die Venus zu zwei verschiendenen Zeitpunkten. Die schwarzen parallelen Linien sind der Weg der Venus für Nord- und Südpol. d ist der Abstand zwischen den beiden parallelen Linien. Die Skizze ist massstäblich richtig. | |
Um zunächst das Problem der täglichen Parallaxe zu vermeiden, beobachten wir vom Nord- und Südpol aus. Natürlich wird sich der kommende Transit vom 8. Juni 2004 nur vom Nordpol aus beobachten lassen, da am Südpol im Juni Polarnacht herrscht. Die Kontaktzeiten lassen sich jedoch im Computer für eine als durchsichtig angenommene Erde berechnen, so dass wir unsere Formeln auf ihre Richtigkeit hin überprüfen können. Es geht im Folgenden "nur" darum, ein Gefühl für die Probleme der Berechung der Distanz Erde-Venus aus der Transitdauer zu bekommen.
Für unsere Beobachter an den Erdpolen kann der Abstand zwischen den beiden
Wegen der Venus über die Sonnenscheibe leicht berechnet werden. Dabei ist
r scheinbarer Sonnenradius +/- scheinbarer Venusradius (je nachdem welche
Kontakte man beobachtet), v die Winkelgeschwindigkeit der Venus relativ zur
Mitte der Sonnenscheibe, und T1, T2 bezeichnen die Dauer des Transits für
die beiden Beobachter.
d1 = sqrt(sqr(r) - sqr(s1)),
d2 = sqrt(sqr(r) - sqr(s2)),
s1 = 0.5*v*T1,
s2 = 0.5*v*T2,
d = |d1 - d2|
(1) d = |sqrt(sqr(r) - sqr(0.5*v*T1))
- sqrt(sqr(r) - sqr(0.5*v*T2))|
sqrt = Quadratwurzel, sqr(x) = x*x
Der Abstand d wäre bereits die gesuchte Parallaxe der Venus, wenn die Sonne unendlich weit entfernt wäre, die räumliche Verbindungslinie der beiden Beobachtungsorte senkrecht auf der Sichtlinie zur Venus stehen würde, und die beiden Venusscheibchen sich auf gleicher Höhe auf den parallelen Wegen vorwärts schreiten würden.
Das Problem der nicht unendlich weit entfernten Sonne lässt sich noch leicht
lösen. Das was mit d beobachtet wird, ist die Differenz zwischen der Parallaxe
der Sonne und der Venus (für kleine Winkel, wie es hier ja der Fall ist).
Das Verhältnis von Sonnenparallaxe und Venusparallaxe kann aus dem Verhältnis
der Abstände der Himmelskörper von der Erde berechnet werden:
(2) Parallaxe P = d' * DS / (DS - DV), mit d' = d / cos(w)
Wobei DS für die Distanz der Sonne und DV für die Distanz der Venus zum Zeitpunkt
des Transits steht. Wie bereits erwähnt, waren solche Verhältnisse im 18.
Jahrhundert bereits bekannt.
Die Berechnung des Anteils der Basislinie senkrecht zur Blickrichtung ist auch kein fundamentales Problem. Für den hier diskutierten Fall der Beobachtung an den Polen braucht man den Polradius der Erde lediglich mit dem Cosinus der Venusdeklination zu verkürzen. Um das Problem nicht unnötig zu komplizieren, wird hier die Deklination der Venus ca. zur Mitte des Transits verwendet.
Wenn wir nun den Abstand zwischen den beiden parallelen Wegen der Venus über
die Sonnenscheibe aus den Transitzeiten (Tabelle E6) berechnen, erhalten
wir 38.9 Bogensekunden. Der Abstand zwischen den beiden parallelen Wegen
ist jedoch nicht der Abstand zwischen den Venusscheibchen zu einem bestimmten
Zeitpunkt. Deren Verbindungslinie steht nicht senkrecht auf dem Weg über
die Sonnenscheibe, sondern ist um w =13.4 Grad aus der Senkrechten gekippt.
Man muss somit d durch den Cosinus dieser 13.4 Grad teilen. Es ist möglich,
diesen Winkel ohne Kenntnis der astronomischen Einheit zu berechnen. Wir
verzichten aber an dieser Stelle darauf.
Die Venusparallaxe P lässt sich dann mit Formel (2) bestimmen. Um daraus
den Venusabstand zu berechnen, benötigen wir die Komponente des Abstandes
zwischen den Beobachtern, die senkrecht auf der Blickrichtung zur Venus steht.
Im Falle der Beobachter auf den Polen der Erde ist diese Komponente der Poldurchmesser
der Erde mal den Cosinus der Deklination der Venus. Diesen korrigierten Poldurchmesser
teilt man danach durch den Sinus der Parallaxe.
Schliesslich erhält man folgende Venusdistanzen:
Betrachte jeweils den 1. und 4. Kontakt => Venusdistanz = 43'258'960
km
Betrachte jeweils den 2. und 3. Kontakt => Venusdistanz = 43'229'277
km
Der Wert für die Venusdistanz, den "Horizon" (NASA) für ca. die Mitte des Transits (8:30 UT) für ein Beobachter am Nordpol berechnet, ist 43'213'860.2 km
Zum Zeitpunkt als dieser Artikel geschrieben wurde gab www.CalSKY.com (von astro!nfo, A. Barmettler) den ersten und den vierten Kontakt nur auf eine Sekunde genau an, den zweiten und den dritten Kontakt hingegen auf 0.1 Sekunden genau. Es ist anzunehmen, dass deshalb die aus dem 2. und 3. Kontakt berechnete Distanz wesentlich näher am richtigen Wert liegt. Um sicher zu sein, müssen wir nun eine Fehlerrechnung durchführen.
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Wir beschränken die Fehlerrechnung auf Formel 1 und beantworten somit die
Frage, wie genau man aus der Transitdauer den Abstand der beiden Wege
bestimmen kann. Dazu müssen wir das Gaussche Fehlerfortpflanzungsgesetz auf Formel 1
anwenden.
Die aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz hergeleitete Fehlerrechnung wurde in ein
kleines Javascript programmiert: Javascript: Fehlerrechnung.
Zunächst diskutieren wir die Rechnung mit der modernen Ephemeride. Der Fehler der scheinbaren Durchmesser betrage 1/100 Bogensekunde und der Fehler in der Geschwindigkeit betrage 1/100 Bogensekunde pro Stunde. Die Zeiten des 1 2. und 3. Kontakts werden auf 0.1 Sekunden angegeben. Wenn das der Fehler ist, sollten nach der gausschen Fehlerrechung die Distanz auf 17'000 Kilometer genau berechenbar sein. Dies ist gerade noch mit dem Vergleich zwischen berechneter und wirklicher Distanz verträglich. Für eine Sekunde genaue Kontaktzeiten beträgt der Fehler gut 100'000 km, was die ungenauere Distanz bei Verwendung des 1. und 4. Kontakts erklärt.
Wie genau lassen sich die Kontaktzeiten ermitteln? Ein durchschnittliches Amateurteleskop kann etwa eine Bogensekunde auflösen. Um eine Bogensekunde auf der Sonnenscheibe zurückzulegen, benötigt die Venus etwa 15 Sekunden. Nehmen wir deshalb an, dass es gelingen sollte, die Kontaktzeiten auf 15 Sekunden genau zu bestimmen. In diesem Fall könnte die Venusdistanz auf etwas besser als 2 Millionen Kilometer genau berechnet werden. Verpasst man die Kontaktzeiten um eine Minute, dann steigt der Fehler auf über 6 Millionen Kilometer.
Der Fehler in der Distanz zur Sonne entspricht dem relativen Fehler der Venusdistanz. Sie ist zum Zeitpunkt eines Transits etwa 3.5 mal weiter von uns entfernt als die Venus. Der relative Fehler bleibt sich gleich, doch der absolute Fehler steigt um den Faktor 3.5, also um 18 Millionen Kilometer, wenn die Kontaktzeiten nur auf eine Minute genau gemessen werden können.
Auch die Frage, wie genau die geozentrische Winkelgeschwindigkeit der Venus und die scheinbaren Radien von Venus und Sonne im 18. Jahrundert bekannt waren, müsste diskutiert werden. Deshalb sehen wir auch diese beiden Grössen als fehlerbehaftet an. Bei der Berechnung der Distanz aus der Parallaxe wird auch der Poldurchmesser (bzw. die Ellipsoid-Form) der Erde berücksichtigt. Auch damit tat man sich im 18. Jahrundert noch schwer.
Als Fortsetzung unserer Betrachtungen zur Genauigkeitsbestimmung werden wir nun den Standort verallgemeinern. Dazu muss die tägliche Parallaxe berücksichtigt werden. Im Artikel "Bestimmung der astronomischen Einheit anhand des Venustransits" wird für einen beliebigen Beobachtungsort der scheinbare Abstand r zwischen der Mitte der Sonnenscheibe und der Mitte der Venusscheibe als Funktion der Zeit dargestellt. Um die Kontaktzeiten zu finden, muss man die Gleichung r(t)= 0.5·(scheinbarer Sonnendurchmesser +/- scheinbarer Venusdurchmesser) numerisch lösen. Das positive Vorzeichen gilt für den ersten und vierten Kontakt, das negative für den zweiten und dritten Kontakt. So kann man die Kontaktzeiten +/- eine Sekunde genau berechnen.
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